Question

1-cosx等价无穷小

不知道这种办法对不对,希望大神们看看.（不想用泰勒公式）
1-cosx=1-(1-2sin^2x/2)=2sin^2x/2 因为sinx/2~x/2,所以1-cosx的等价无穷小为2*（x/2)^2,化简得1/2x^2
看了很多网上别人的解法,感觉有点麻烦.

Answer 1

具体回答如下：

根据：

cosx=1－x^2/2+o(x^2)

(1+x)^(1/2)＝1+x/2+o(x)

可计算：

1－√cosx

＝1－（1+cosx－1)^(1/2)

＝1－（1+(cosx－1)/2)+o(cosx－1)

＝（1－cosx)/2+o(x^2)

＝x^2/4+o(x^2)

等价无穷小的意义：

在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

Answer 2

答：
用二倍角公式：
cos2a=1-2sin²a
1-cos2a=2sin²a
所以：
1-cosx=2sin²(x/2)~2×(x/2)²~x²/2
所以：
1-cosx的等价无穷小为x²/2