Question

已知数列(an)满足a1=1/5,且当n>1,n属于正整数时,有an-1/an=(2an-1+1)/(1-2an)

已知数列(an)满足a1=1/5,且当n>1,n属于正整数时，有an-1/an=(2an-1+1)/(1-2an)

(1)求证：数列(1/an)为等差数列

(2)试问a1a2是否是数列(an)中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由

Answer 1

a(1) = 1/5

a(n-1)/a(n) = [2a(n-1) + 1]/[1 - 2a(n)],

a(n) 不等于0或1/2.

a(n-1)[1 - 2a(n)] = a(n)[2a(n-1) + 1],

a(n-1) - 2a(n)a(n-1) = 2a(n)a(n-1) + a(n)

4a(n)a(n-1) = a(n-1) - a(n),

4 = 1/a(n) - 1/a(n-1),
所以，{1/a(n)}是首项为1/a(n) = 5,公差为4的等差数列。

1/a(n) = 5 + 4(n-1) = 4n + 1,

a(n) = 1/(4n+1), n = 1,2,...

a(2) = 1/(4*2+1) = 1/9,

a(1)a(2) = 1/5*(1/9) = 1/45 = 1/(4*11 + 1).

所以，
a(1)a(2)是数列{a(n)}中的项，是第11项。

Answer 2

(1)由a(n-1)/an=(2a(n-1)+1)/(1-2an)得
(1-2an)/an=(2a(n-1)+1)/a(n-1)
1/an-2=2+1/a(n-1)
即1/an-1/a(n-1)=4,数列(1/an)为等差数列.

(2)a1=1/5,1/a2=1/a1+4=9,a2=1/9,a1*a2=1/45,
a1*a2是数列(an)中的项,则1/(a1*a2)=45,必是数列(1/an)中的项,利用等差数列的通项公式,即存在n有5+4(n-1)=45,解得n=11,于是a11=a1*a2,
故a1*a2是数列(an)中的11项.

Answer 3

=>
(1-2An)/An = (2An-1 + 1)/An-1
=>
1/An - 1/An-1 =4
则d=4
故得证

=>a2 = 1/9
a1*a2 = 1/45
可以试试了

Answer 4

式子很乱.
1.证明方法:令1/an=bn,让原式中只出现bn,看一下bn是不是有等差数列的性质?
2.把bn求出来了,an=1/bn也就出来了,再计算一下a1a2是否符合an的通式,就可以了.