Question

当-2≤x≤1时，二次函数y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）

为什么讨论m<-2,-2≤m≤1,m＞1

Answer 1

解：二次函数y=-(x-m)²+m²+1的顶点为(m，m²+1)，
⑴当m<-2时，顶点(对称轴 x=m)在-2≤x≤1范围左侧，
此时函数在-2≤x≤1范围内y随着x的增大而减小，
所以当x=-2时，y最大，
所以4=-(-2-m)²+m²+1，
解得m=-7/4，
因m<-2，所以m=-7/4舍去；
⑵当-2≤m≤1时，顶点(对称轴 x=m)在-2≤x≤1范围内，
所以当x=m时，y有最大值，
所以4=m²+1
解得：m=±√3，
因-2≤m≤1，
所以m=√3舍去，
所以m=-√3；
⑶当m>1时，顶点(对称轴 x=m)在-2≤x≤1范围右侧，
此时函数在-2≤x≤1范围内y随着x的增大而增大，
所以当x=1时，y最大，
所以4=-(1-m)²+m²+1，
解得m=2，
综上得当m=-√3或m=2时，二次函数y=-(x-m)²+m²+1在-2≤x≤1范围内有最大值时4.