Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对...

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意的x∈R，总有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时f(x)≤(x+12)2，求f（x）的解析式．

Answer 1

解：∵对任意的x∈R，总有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时f(x)≤(x+12)2，
∴当x=1时，有1≤f（1）≤1，即f（1）=1，结合f（-1）=0可得a-b+c=0a+b+c=1，
解得a+c=b=12，又∵对于一切实数x，f（x）-x≥0恒成立，
∴ax2+（b-1）x+c≥0（a≠0），对于一切实数x恒成立，
∴a＞0△=(b-1)2-4ac≤0，即a＞0ac≥116，
∵a+c=12，且a+c≥2ac=12，
∴当且只有当a=c=14时，不等式成立，
∴f（x）=14x2+12x+14