Question

已知函数f（x）=x2eax，其中a≥0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（...

已知函数f（x）=x2eax，其中a≥0，e为自然对数的底数． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）求函数f（x）在区间[-1，0]上的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f'（x）=x（ax+2）eax．
（i）当a=0时，令f'（x）=0，得x=0．
若x＞0，则f'（x）＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增；
若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（-∞，0）上单调递减．
（ii）当a＞0时，令
f′（x）=0，得x（ax+2）=0，故x=0或x=-
2
a
．
若x＞0，则f'（x）＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增；
若-
2
a
＜x＜0，则f′（x）＜0，从而f（x）在（-
2
a
，0））上单调递减；
若
x＜-
2
a
，则f′（x）＞0，从而f（x）在（-∞，-
2
a
）上单调递增．
（Ⅱ）（i）当a=0时，f（x）在区间[-1，0]上的最大值是f（-1）=1．
（ii）当-
2
a
＜-1⇒0＜a＜2时，f（x）在区间[-1，0]上递减，最大值是f（-1）=e-a．
（iii）当-
2
a
≥-1⇒a≥2时，f（x）在区间[-1，0]上先增后减，最大值是
f（-
2
a
）=
4
a2•e2