Question

设A为mxn矩阵,B为nxm矩阵,且m>n,证明det(AB)=0的详细过程？

设A为mxn矩阵,B为nxm矩阵,且m>n,证明det(AB)=0.证明到R(AB)<m后怎么做？（不要复制，要详细过程）... 设A为mxn矩阵,B为nxm矩阵,且m>n,证明det(AB)=0.证明到R(AB)<m后怎么做？（不要复制，要详细过程） 展开

Answer 1

设A为mxn矩阵,B为nxm矩阵,且m>n,证明det(AB)=0的详细过程：
一、【证明】：
1、A为mxn矩阵，B为nxm矩阵，则AB为mxm矩阵。
2、因为m>n，所以r(AB)≤r(A)≤n＜m。所以det(AB)=0。
二、【评注】：
矩阵秩的定义为：最大非零子式的阶数。
由于AB的秩是小于m的，所以AB的m阶子式，即det(AB)是等于0的。
提示：
矩阵（Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（由深圳网域提出）等等。“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵。