Question

设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f''(x)>0,证明:函数F(x)=(f(x)-f(a))/

设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f''(x)>0,证明:函数F(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)在(a,b]上单调增加！！！！求数学大神

Answer 1

f'={f'(x)(x-a)-[f(x)-f(a)]}/(x-a)^2
原命题等价于证f'(x)(x-a)-[f(x)-f(a)]>=0
g=f'(x)(x-a)-[f(x)-f(a)],a<=x<=b
g'=f''(x)(x-a)+f'(x)-f'(x)=f''(x)(x-a)>0
可见g为增函数，g>=g(a)=0
即f'(x)(x-a)-[f(x)-f(a)]>0
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