Question

为什么c²+(1-c)≤1

柯西、均值不等式的简单问题- -已知a+b+c=1且abc都为正数.求（a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值
已知a+b+c=1且abc都为正数.求（a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值
原式=a2+2+1/a2+b2+2+1/b2+c2+2+1/c2=(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)+6
基本不等式得(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)+6>=2根号下[(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)]+6
柯西不等式得(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)>=3^2=9
所以(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)+6>=2根号9+6=12
这么做为什么不对啊- -

Answer 1

问题在于两次放缩的等号不能同时成立, 所以得到的下界不能取到, 不是最小值.
其中均值不等式取等需要a²+b²+c² = 1/a²+1/b²+1/c².
而Cauchy不等式取等需要a²:b²:c² = 1/a²:1/b²:1/c², 得a² = b² = c².
在a+b+c = 1且a, b, c > 0的条件下有a = b = c = 1/3.
此时均值不等式等号不能成立.
求最小值的问题最好验证一下最小值能否取到.
我的方法是这样.
由Cauchy不等式或幂平均不等式有a²+b²+c² ≥ (a+b+c)²/3 = 1/3.
同理1/a²+1/b²+1/c² ≥ (1/a+1/b+1/c)²/3.
而由Cauchy不等式有1/a+1/b+1/c = (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 9.
于是1/a²+1/b²+1/c² ≥ 9²/3 = 27.
(a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)² ≥ 1/3+27+6 = 100/3.
易见a = b = c = 1/3时等号成立, 故最小值为100/3.