Question

2009年高考四川理科数学16题

16．设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题： ①设是平面上的线性变换，则 ②对，则是平面上的线性变换； ③若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； ④设是平面上的线性变换，，若共线，则也共线。 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

Answer 1

1
2
4
一
设f是平面M上的线性变换则f
0向量
=0向量
解析
f（
0）
=（0点0向量+0点0向量）=0点f（0向量）+0点f（0向量）=0向量
因此一正确
二
对向量a属于V，设f（a向量）=2a向量，则f是平面M上的线性变换
三
若e是平面M上的单位向量，对a属于V，设f（a）=a-e，则f是平面M上的线性变换
f(λa+μb)=2(λa+μb)=λ(2a)+μ(2b)=λf(a)+μf(b)因此二正确。对于三，f(λa+μb)=(λa+μb)-e,λf(a)+μf(b)=λ(a-e)+μ(b-e)=λa+μb-(λ+μ)e,显然(λ+μ)e与e不恒相等，因此三不正确。
四
设f是平面M上的线性变换，a、b属于V，若a、b共线，则f（a）、f（b）也共线
对于四，当a、b共线时，若a、b中有一个等于0向量，由于f（0）=0，即此时f(a)、f(b)中有一个等于0向量，f(a)、f(b)共线；若a、b均不等于0向量，设b=λa，则有f（b）=f（λa）=f（λa+0点0向量）=λf（a）+0点f（0）=λf（a），此时f（a）、f（b）共线，综上所述，当a、b共线时，f（a）、f（b）共线。