Question

已知函数f（x）=x3-2ax2+3x（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函...

已知函数f（x）=x3-2ax2+3x （1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围； （2）若x=a是f（x）的极值点，求f（x）在[-2，a]上的最小值和最大值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x3-2ax2+3x在x∈[1，+∞）上是增函数
∴f'（x）=3x2-4ax+3≥0
∴a≤34(x+1x)在[1，+∞）恒成立
∴a≤[34(x+1x)]min
∵34(x+1x)≥32，当x=1时等号成立
∴a≤32…．（6分）
（2）由题可知f′（a）=3a2-4a2+3=0
∴a=±3
当a=3时，x∈[-2，3]
f′(x)=3x2-43x+3=3(x-3)(x-33)
此时 由f'（x）＞0可得-2≤x＜33；
由f'（x）＜0可得33＜x＜3，
所以函数f（x）的单调递增区间为[-2，33)，
函数f（x）的单调递增区间为(33，3)
又∵f(-2)=-14-83，f(3)=0
极小值为f(33)=439
函数f（x）的函数f（x）的最小值为 -14-83
函数f（x）的函数f（x）的最大值为439…．（11分）
当a=-3时，x∈[-2，-3]
f′(x)=3x2+43x+3=3(x+3)(x+33)
此时 由f'（x）≥0，
∴f（x）在[-2，-3]上为增函数，
∴f(x)min=f(-2)=-14+83∴f(x)max=f(-3)=0…．（13分）