Question

已知函数f（x）=x+xlnx．（1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线...

已知函数f（x）=x+xlnx． （1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程； （2）若k∈z，且k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值； （3）当n＞m≥4时，证明（mnn）m＞（nmm）n．

Answer 1

解：（1）∵f（x）定义域为（0，+∞）
f′（x）=lnx+2
∵k=f′（1）=2
∴函数y=f（x）的在点（1，1）处的切线方程为：y=2x-1；
（2）∵k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立
∴k＜f(x)x-1对任意x＞1恒成立，即
k＜x+xlnxx-1对任意x＞1恒成立．
令
g(x)=x+xlnxx-1，
则
g′(x)=x-lnx-2(x-1)2，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），
则
h′(x)=1-1x=x-1x＞0，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．
因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．
当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，
所以函数
g(x)=x+xlnxx-1在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．
所以
[g(x)]min=g(x0)=x0(1+lnx0)x0-1=x0(1+x0-2)x0-1=x0∈(3，4)．
所以k＜[g（x）]min=x0∈（3，4）．
故整数k的最大值是3．
（3）证明：由（2）知，g(x)=x+xlnxx-1是[4，+∞）上的增函数，
所以当n＞m≥4时，n+nlnnn-1＞m+mlnmm-1．
即n（m-1）（1+lnn）＞m（n-1）（1+lnm）．
整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+（n-m）．
因为n＞m，所以mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn，
即lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn．
即ln（nmnmm）＞ln（mmnnn）．
所以（mnn）m＞（nmm）n．
证明2：构造函数f（x）=mxlnx+mlnm-mxlnm-xlnx，
则f'（x）=（m-1）lnx+m-1-mlnm．
因为x＞m≥4，所以f'（x）＞（m-1）lnm+m-1-mlnm=m-1-lnm＞0．
所以函数f（x）在[m，+∞）上单调递增，
因为n＞m，所以f（n）＞f（m）．
所以mnlnn+mlnm-mnlnm-nlnn＞m2lnm+mlnm-m2lnm-mlnm=0．
即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．
即lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn．
即ln（nmnmm）＞ln（mmnnn）．
所以（mnn）m＞（nmm）n．