Question

已知全集U={1，2，3，4，…，n}，集合A满足①A⊆U；②若x∈A，则kx∉...

已知全集U={1，2，3，4，…，n}，集合A满足①A⊆U；②若x∈A，则kx∉A；③若x∈∁UA，则kx∉∁UA，（其中k，n∈N*）；fk（n）表示满足条件的集合A的个数． （1）求f2（4），f2（5）； （2）求f3（2013）； （3）记集合A的所有元素之和为集合A的“和”，当n=pk+q时，（其中p，q∈N，0≤q＜k），求所有集合A的“和”的和．

Answer 1

解：（1）由题意知，当n=4，k=2时，
满足条件的集合A有：{1，4}，{1，3，4}，{2}，{2，3}，
∴f2（4）=4．
当n=5时，k=2时，满足条件的集合A有：
{1，4}，{1，3，4}，{1，4，5}，{1，3，4，5}，{2}，{2，5}，{2，3}，{2，3，5}，
∴f2（5）=8．
（2）当n=2013，k=3时，任取x∈U，则x可以表示为：轮启
x=m•3t，其中t∈N，m不能被3整除，
由题意知：若m∈A，则x∈A⇔t为偶数；
若m∉A，则x∈A⇔t为奇数，
设B是由U中所有不被3整除的数构成的集合，
则f3（2013）等于B的子集个数，
∴腊好如f3（2013）=22013-671=21342．
（3）由（2），同理可知，当n=pk+q时，fk(n)=2n-p，
而U中每个元素在所袜颤有集合中出现的次数均相同，都为2n-p-1，
共有2n-p-1对符合条件的A与CUA，
故所有集合A的“和”之和为：
（1+2+3+…+n）×2n-p-1=n（n+1）•2n-p-2．