Question

如果p是素数,并且p≡3(mod 4),那么[(p-1)/2]!≡±1(mod p),证明过程

Answer 1

解析如下：

Wilson定理说的是

(p-1)!≡-1(modp)

而±1,±2,...,±(p-1)/2也是模p的完全剩余系，故它们乘起来同余于(p-1)!

故

(-1)^[(p-1)/2)]*[(p-1)/2]!≡-1(modp)

而p≡3(mod4)，所以(-1)^[(p-1)/2)]=-1

故

[(p-1)/2]!≡1(modp)。

素数定理（prime number theorem）是素数分布理论的中心定理，是关于素数个数问题的一个命题：设x≥1，以π(x)表示不超过x的素数的个数，当x→∞时，π(x)～Li(x)或π(x)～x/ln(x)。（Li(x)为对数积分）

Answer 2

Wilson定理说的是
(p-1)!≡-1(mod
p)
而±1,±2,...,±(p-1)/2也是模p的完全剩余系，故它们乘起来同余于(p-1)!
故
(-1)^[(p-1)/2)]*[(p-1)/2]!≡-1(mod
p)
而p≡3(mod
4)，所以(-1)^[(p-1)/2)]=-1
故
[(p-1)/2]!≡1(mod
p)