Question

在三角形ABC中,sinA=sinB+sinC/cosB+cosC,试判断三角形...

在三角形ABC中,sinA=sinB+sinC/cosB+cosC,试判断三角形的形状 要求一定要有具体步骤

Answer 1

.在三角形ABC中,若sinA＝(sinB+sinC)/(cosB+cosC),判断三角形ABC的形状.：∵sinA＝(sinB+sinC)/(cosB+cosC)
∴sinA-
(sinB+sinC)/(cosB+cosC)
＝0
∴sinA-
2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]/
2cos[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]＝0
∴sinA-
sin[(B+C)/2]
/
cos[(B+C)/2]＝0
∴2sin(A/2)cos(A/2)-
cos(A/2)
/
sin(A/2)＝0,又∵cos(A/2)≠0
∴2sin(A/2)
-
1
/
sin(A/2)＝0
∴2sin2
(A/2)
-
1＝0
∴2sin2
(A/2)＝1
∵sin(A/2)＞0
∴sin(A/2)＝√2/2,则A/2＝π/4
∴A＝π/2,即：三角形ABC为以A为直角顶点的直角三角形.方法二:由余弦定理和正弦定理:sinA(cosB+cosC)=sinB+sinC
==>a/R[(a^2+c^2-b^2)/2ac+(a^2+b^2-c^2/2ab)]=b/R+c/R
==>(a^2+c^2-b^2)/2c+(a^2+b^2-c^2/2b)=b+c
==>b(a^2+c^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)=2bc(b+c)
==>ba^2-bc^2-b^3+ca^2-cb^2-c^3=0
==>(ba^2+ca^2)-(bc^2+c^3)-(b^3-cb^2)=0
==>a^2(b+c)-c^2(b+c)-b^2(b+c)=0
==>(b+c)(a^2-c^2-b^2)=0==>a^2=c^2+b^2
所以,三角形是直角三角形.