Question

已知抛物线C:y=-1/2x^2+6,点P(2,4),A,B在抛物线上,且直线p...

已知抛物线C:y=-1/2x^2+6,点P(2,4),A,B在抛物线上,且直线pA,pB的倾斜角互补.(1)证明:直线AB的斜率为定值(2)当直线AB在y轴上的截距为正数时,求三角形PAB面积的最大值及此时直线AB的方程

Answer 1

（Ⅰ）证：易知点P在抛物线C上,设PA的斜率为k,则直线PA的方程是y-4=k（x-2）．
代入y=-
1
2
x2+6并整理得x2+2kx-4（k+1）=0此时方程应有根xA及2,
由韦达定理得：
2xA=-4（k+1）,∴xA=-2（k+1）．∴yA=k（xA-2）+4．=-k2-4k+4．∴A（-2（k+1）,-k2-4k+4）．
由于PA与PB的倾斜角互补,故PB的斜率为-k．
同理可得B（-2（-k+1）,-k2+4k+4）
∴kAB=2．