Question

子集个数为什么是2的n次方,包括空集吗

为什么集合｛1,2,3,...,n｝的所有子集个数为2的n次方,真子集个数为2的n次方-1,怎么证明还有下面的.
还有非空子集个数为2的n次方-1,非空真子集个数为2的n次方-2.

Answer 1

每个元素有两种选择：出现或不出现在某个子集中。

所以n元集的子集有2^n个。

另证：n元集的子集中，空集有C(n,0)个。

i元子集有C(n,i)个，i=1,2,……,n。

所以n元集的子集的个数=∑<i=0,n>C(n,i)=2^n。

子集与真子集两者的包含范围不同

子集比真子集范围大，子集里可以有全集本身，真子集里没有，还有，要注意非空真子集与真子集的区别，前者不包括空集，后者可以有。

举例说明，比如全集I为{1，2，3}，

它的子集为{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}、再加个空集；

而真子集为{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、再加个空集，不包括全集I本身。

Answer 2

根据集合的定义,空集Φ和自身属于集合的子集,因此所有子集数是可用组合加法公式计算：

真子集不包含集合自身,所以真子集个数为2^n-1；
非空子集不包含空集Φ但包含自身,所以个数仍然是2^n-1；
非空真子集则即不包含空集Φ也不包含自身,所以个数是2^n-2；