Question

判断正项级数(1-cos1/n)收敛还是发散，用比较原则判断

Answer 1

有两个基本极限:
lim{x
→
0}
(1-cos(x))/x²
=
1/2,
lim{x
→
0}
(a^x-1)/x
=
ln(a).
可知n
→
∞时0
≤
1-cos(1/n)与1/n²是同阶无穷小.
根据比较判别法,
由∑1/n²收敛,
知∑(1-cos(1/n))收敛.
而n
→
∞时0
≤
a^(1/n)-1与1/n是同阶无穷小.
根据比较判别法,
由∑1/n发散,
知∑a^(1/n)-1发散.

Answer 2

lim(n→∞) (1-cos(1/n))
= lim(n→∞) (1/2*n^2) 等价无穷小替换
得出lim(n→∞) (1-cos(1/n))是2阶等价无穷小
则 设(1-cos1/n)为an数列
lim(n→∞) n^2 * (1-cos(1/n)) = 1/2 为常数
且p=2>1，所以收敛