Question

求大学数学概率论与数理统计第4，5题答案和详细过程

Answer 1

4题，E(S²)=(b-a)²/12。其过程是，∵X~U(a,b)，∴f(x)=1/(b-a)，a<x<b、f(x)=0，x为其它。
∴E(X)=∫(a,b)xf(x)dx=(b+a)/2，E(X²)=∫(a,b)x²f(x)dx=(b²+ab+a²)/3，∴D(X)=E(X²)-[E(X)]²=(b-a)²/12。而，E(S²)是D(X)的无偏估计。∴E(S²)=(b-a)²/12。
5题，ρXY=-1。其简单的过程是，Y=-X+1。说明X、Y完全相关且变化方向相反，按照定义，ρXY=-1。【其详细的计算过程是，∵Y=-X+1，∴E(Y)=-E(X)+1，D(Y)=D(X)。E(XY)=E[X(1-X)]=E(X)-E(X²)，Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=…=-D(X)。∴ρXY=Cov(X,Y)/[D(X)D(Y)]^(1/2)=-1】。
供参考。