Question

多元函数极限何时一定存在？

证极限存在用的夹逼定理的另一头的极限为什么是确定的？不是说xy要沿着任意路径极限都相等才存在吗，那也证不完啊？比如说我写的这几个，辅导书的答案都是直接用的，那还有哪些可以直接用呢？

Answer 1

证明极限存在时，可以直接求出他的极限，或者使用定义来证明。
如果其极限存在，以任意方式，沿任意方向，极限值都为A。
如果想证明其极限存在，不能用枚举法证明每种路径都是同一极限值。你是穷举不完的。
但如果想证明其极限不存在，只需要说明在某一路径下，其极限值是不确定的。类似于反证法的做法。

Answer 2

因为都可以用二元函数的极限定义来证明
我以lim(x->0,y->0) |xy|=0为例来证明
证明：对∀ε>0，总存在δ=√ε，是对所有(x,y)∈P，其中P={(x,y)||x|<δ,|y|<δ,x和y不同时为0}是(0,0)的一个去心邻域，有
|xy-0|=|x|*|y|<δ*δ=ε
所以根据二元函数的极限定义，有lim(x->0,y->0) |xy|=0