Question

已知在三角形ABC中，A=2B，求（a/b）+（2b/c）的取值范围？

Answer 1

根据正弦定理，我们有：
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
由于A = 2B，我们有sin(A) = sin(2B) = 2sin(B)cos(B)，因此：
a/b = sin(A)/sin(B) = (2sin(B)cos(B))/sin(B) = 2cos(B)
2b/c = 2sin(B)/sin(C)
将上述两个式子代入（a/b）+（2b/c），得到：
（a/b）+（2b/c）=2cos(B) + 2sin(B)/sin(C)
= 2(cos(B) + sin(B)/sin(C))
根据三角函数的定义，我们有sin(C) ≤ 1，因此：
2(cos(B) + sin(B)/sin(C)) ≤ 2(cos(B) + sin(B)) ≤ 2√2
因此，（a/b）+（2b/c）的取值范围是[0, 2√2]。