Question

数学归纳法_整除问题_题目如下？

设c为正整数，若不论n为任何正整数，10^n＋3×(4^n）＋c都是9的倍数，则c被9除的馀数必为多少？

Answer 1

数学归纳法：

1. 当 n = 1 时，该式等于 = 10 + 12 + c = 22 + c = 27 + (c - 5) = 3 * 9。既然是 9 的倍数，那么 (c - 5) 也必然是 9 的倍数；

2. 当 n = 2 时，该式等于 = 148 + c = 153 + (c - 5) = 17 * 9 + (c - 5)。很显然，这个式子也能够被 9 整除；

3. 假设 该式能够被 9 整除，即 10^n + 3 * 4^n + c 可以被 9 整除。那么：

   10^(n+1) + 3 * 4^(n+1) + c

   = 10 * 10^n + 3 * 4^n * 4 + c

   = (9 * 10^n + 10^n) + 3 * 4^n * (3 + 1) + c

   = (9 * 10^n + 9 * 4^n) + (10^n + 3 * 4^n + c)

   化简到这一步可以看出，这个式子肯定也可以被 9 整除。

因此，c - 5 肯定能够被 9 整除。所以，c 除以 9 的余数一定是 5。