Question

dy/dx=(x^2+y^2)/xy 求x=1,y=0的特解

Answer 1

解：∵dy/dx=(x^2+y^2)/xy
==>ydy/x^2=(1/x+y^2/x^3)dx
==>ydy/x^2-y^2dx/x^3=dx/x
==>d(y^2/x^2)=2dx/x
==>y^2/x^2=2ln│x│-ln│C│
(C是常数)
==>x=Ce^(y^2/x^2)
∴原方程的通解是x=Ce^(y^2/x^2)
∵当x=1时，y=0
∴代入通解，得C=1
故所求特解是x=e^(y^2/x^2)。

Answer 2

(1+x*x)dy=(1+xy)dx
y|x=0=1
观察知，y=x是方程的特解
为求通解，令y=x+t，代入原方程得
(1+x^2)(1+t')dx=(1+x^2+xt)dx
化简得
dt/t=xdx/(1+x^2)
所以，t=c(1+x^2)^(1/2)
所以，y=x+c(1+x^2)^(1/2)
x=0=1
所以
y=1