Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a>b>c,a+b+c=0(a,b,c,属于R)

(1)求证:两函数的图像交于不同两点A、B;
(2)求线段AB在x轴上的射影A1、B1的长的取值范围.

Answer 1

y=-bx代入y=ax^2+bx+c
-bx=ax^2+bx+c
ax^2+2bx+c=0
4b^2-4ac
=4(b^2-ac)
b=-(a+c)代入
4(a^2+2ac+c^2-ac)
c=0时，4a^2>0
a,c同号时，a^2+ac+c^2>0
a,c异号时，(a+c)^2=a^2+c^2+2ac>0
a^2+c^2>-2ac
a^2+ac+c^2>-2ac+ac=-ac>0
因此，方程总有两不等实根，即两函数的图像交于不同两点A、B。

x=[-2b±√4(b^2-ac)]/2a
AB=2√(b^2-ac)/a=2√(b^2-ac)/a^2
(a^2+ac+c^2)/a^2
=1+c/a+(c/a)^2
=[(c/a)+1/2]^2+3/4
当c/a=-1/2时，(c/a)+1/2]^2+3/4有最小值3/4
ABmin=√3
即AB的取值范围：[√3,∞)