Question

二阶微分方程的3种通解是什么？

Answer 1

第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。

第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关；

通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。

第三种：先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解

特征方程为2r²+r-1=0

(2r-1)(r+1)=0

r=1/2或r=-1

故通解为Y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)

因为1不是特征根，所以设原方程的特解为y*=Ae^x

则y*'=y*''=Ae^x

代入原方程得，2Ae^x=2e^x

A=1

故y*=e^x

所以原方程的通解为y=Y+y*

即y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)+e^x

扩展资料：

（线性非齐次微分方程通解的结构定理）如果y0是非齐次微分方程（1）的一个特解，而y*是对应的齐次微分方程（2）的通解，则y=y0+y*是方程（1）的通解。

对于比较简单的情形，可以用观察法找特解。但对于比较复杂的情形就不太容易了。为此，下面对于f(x)的几种常见形式，以表2列出找其特解的方法（待定系数法）（表2中Pm(x)=a0+a1x+a2x2+...+amxm为已知的多项式）。

参考资料来源：百度百科-二阶微分方程