Question

卡方分布的特征函数怎么推导?

Answer 1

在求两个或多个随机变量和的分布时，需要用到卷积公式.如果要求n个相互独立的随机变量和的分布时，就要算n-1次卷积,这是一件很麻烦的事情。由于在各个领域都经常需要用到多个随机变量和的分布，因此找到一种快速有效的方法是非常重要的。

幸运的是，经过人类不断地探索和研究,终于发现特征函数。这个有力的工具,可以高效地获得多个独立随机变量和的分布。应用特征函数来获得多个相互独立的卡方分布随机变量和的概率密度函数，以及概率密度函数的近似表达式.

关于函数：

在概率论中，特征函数的益处体现在：任意分布与它的特征函数一一对应；两个独立随机变量之和的特征函数就是它们二者特征函数的积；特征函数在零点附近收敛 == 分布函数弱收敛(Levi continuous theroem)。

比如f(xy)=f(x)+f(y)没有给出具体的函数表达形式，只是给出了相应的函数性质，是一个抽象函数。而满足该性质的一个具体函数被称为特征函数，比如 f(x)=ln(x)
就是它的一个特征函数，观察函数性质可知该特征函数集合是对数函数。

以上内容参考  百度百科 函数