Question

高数解答题 画红线的函数是如何被构造出来的？

Answer 1

为了使用中值定理，构造两个部分分别是F(0) = 0 , F(1) = 0

Answer 2

求存在某点满足等式的无非是：
零点定理，积分中值定理(包括罗尔定理，拉格朗日/柯西中值定理)
而零点定理往往需要判断符号，如果题目中没给出任何符号的初始条件，证明里面也看不出符号，就要考虑用积分中值定理，尤其是罗尔定理。
所以，需要构造出某个函数微分的形式。
最常见的比如：e^x*f(x), e^(-x)*f(x),f(x)/x....
对于本题，显然，将常量换成变量x
∫(0,x)f(t)dt-(1-x)f(x)=0
显然，左边是-(1-x)∫(0,x)f(t)dt的导数。
所以，立刻可以联想到，用罗尔定理。
找到两个等值点，在两点开区间可导，闭区间连续，就可以了。
没什么诀窍，做的多了见的多了，就熟悉了，一眼就能看出构造成什么样子。