机械振动与其衍生的
1个回答
展开全部
机械振动是世界上普遍存在的，无论是秋千、健身器材，还是高楼被风吹动的摇摆，一直影响到离入海口很远的潮汐，甚至于人本身的心跳和激素波动，都是机械振动的一种形式。
机械振动在物理上有着重要的意义，它是物质运动的主要存在形式，在数学上表现为二阶齐次线性微分方程的解。下面，将从数学和物理的分析角度，对机械振动及其衍生的问题进行分析。
无论是河流的潮汐还是各种工程的建设，都是机械振动的体现和运用
机械振动中最简单的简谐运动涉及到一个弹性的回复力。根据胡克定律，这个弹性的回复力的大小与相对于初始位置的位移成正比，方向与位移相反，表示为
，k为振动系统的劲度系数，它与回复力的施力物体的性质有关。又由牛顿第二定律得
，即
，
，因此可以化为二阶线性齐次微分方程
。
解二阶线性齐次微分方程，是研究本篇研究的及第2篇将要研究的运动的基础。
对于上面形式的二阶线性齐次微分方程，可以通过证明得到，当
时，
，
，于是就可以把r提取出来，把二阶线性齐次微分方程化为
这样的一元二次方程来求解。根据一元二次方程的定义，可以得到两个共轭虚根
。这两个根对应原方程的两个特解，因此可以推出
，由欧拉公式得
，因此可以得到通解
。
余弦（或正弦）振动本质就是没有一阶项的二阶线性齐次微分方程的通解
为了更加清晰地体现这种运动的特征，令
，
，
，即可把通解变换为
。这就是最简单的机械运动，也就是简谐运动的运动方程。其中的x表示相对于初始位置的位移，A表示振幅，ω表示角频率（也就是角速度，由此可得周期
，频率
），φ表示初相（也就是开始的时候对应的角位置）。
又由于ω只与劲度系数k和物体的质量m有关，所以周期和频率只与振动系统自身的物理性质有关。在没有阻力的情况下，周期和频率也可以被称为固有周期和固有频率。但有阻力的情况下周期和频率不等于固有周期和固有频率，将在第2篇中谈及。
对这个运动方程进行求导，即可得到速度
，加速度
，因而有当相对于初始位置的位移最大时，速度为0，加速度最大，为Aω^2，且方向与位移方向相反；当回到初始位置时，速度最大，为Aω，加速度为0。
因此，根据动能定理可以计算出运动的动能为
，振动的势能为
，因此总机械能为
。过程中只有弹性回复力这一保守内力做功，所以机械能守恒，即只有动能和振动的势能之间的转化。
由于简谐运动机械能守恒，所以其能量能不衰减地传下去
这就是简谐运动的振动规律，运动的对象在没有其他阻力的情况下，按照某个特定的余弦（或正弦）周期不停息地做往复运动。
这种运动是机械运动中最简单，也最理想的一种。在足够长的时间里，它会一直保持着最初的周期、频率和振幅。在现实世界中，钟的摆动，风吹过树枝的摇动，入海口附近河流的涨落，甚至走路的发辫的摇动，人的心跳节律，在理想状态下都可以看成简谐运动。
简谐运动在生活中有很多近似的例子，但由于外界阻力总存在，所以完全的简谐运动几乎不存在，详见第2篇
但是在现实世界中看到的简谐运动往往不是由单一的简谐运动组成的，例如我们日常听到的音乐，大戏，雷雨声都是由多个声音的简谐运动合成而来的。简谐运动的合成，又涉及到什么样的数学变换呢？
灯光里奏出的音乐、大戏的锣鼓、钢琴的乐音、云层间的闪电，都涉及到简谐运动的合成
根据三角恒等变换的规则，对于多个简谐运动，可以得到位移
，其中当频率相同时，
，其中
，
，这个过程可以把每一个简单简谐运动的位移看成是一个矢量 Ai ， Ai 的合成的大小即为振幅的大小A。所以当所有的简单简谐运动之间的相位差恰为2π的整数倍时，A最大，为
，若它们的相位差之和恰为2π的整数倍时，所有振幅被抵消，A为0。
当两个振幅相同，频率和初相不同的简单简谐运动合成时，位移
，可以化为，
，其中
，
，
。可见，这是一个合振幅随着时间的变化而变化的简谐运动，其角频率恒定为
，但因为余弦函数的绝对值的周期为π，故其频率为
。与此同时，也可以得到合振幅的变化角频率为
，频率为
，初相为
。
这种现象被称为拍。其中频率
被称为拍频，它代表着对于两个振幅相同、频率和初相不同的简单简谐运动来说，每两次相位相差
之间需要经过
的时间（即周期）。当两个简单简谐运动的初相相同时，表示合振幅的最大值和最大值（或最小值和最小值）之间经过的时间。
在现实世界中，当两频率之差远小于两频率之和时，就会出现这种简谐运动频率时而增大，时而减小的拍现象。例如两个音色和频率相近的人唱歌的时候，就会听到这样的时而强时而弱的现象。
拍现象可以应用于对速度、距离、声音传播的测量
到这里，简单简谐运动的合成可以推广到更为一般的情况，此时
，其中
，
，
，
。
其运算的原则是遵循向量相加的原则，即把运动方程视为一个模长为振幅（A），方向为相位角（ωt+φ）的向量 x ，按向量的加法原则对运动相加，通过这种方法可以合成方向相同的有限多个简单简谐运动。不过当简谐运动的合成越来越复杂的时候，其振动也越来越无规律，体现在如噪声的发生上。
当千万人的身体运行作简谐运动时，运动的波形就会无穷叠加为复杂的波，详见第3篇
2
但是，这种理想的状态只能在外界阻力相对影响微乎其微（如氢原子的振动、足够宽阔的海洋的潮汐、万有引力对时空的扭曲传播等）的情况下实现。大多数的机械振动，都是在有阻力的情况下发生的，这种运动被称为阻尼运动。
阻尼运动比简谐运动更加普遍，高层建筑的抗风装置（如Canton Tower 110层的阻尼器），轨道交通设置的隔音屏和减震道床应用了阻尼运动，日常生活中吊起来的物件在足够长时间内震动幅度会越来越小，香蕉砍下来的过程中树的摇动会越来越小，是阻尼运动的表现。
大部分的机械振动都是阻尼运动的应用和体现
阻尼运动涉及到的力除了前述的弹性的回复力之外，还有一个与运动速度成正比的阻力，可以表示为
，因此由牛顿第二定律可以推出
，即
，根据1中给出的二阶线性齐次微分方程的解法可得
机械振动在物理上有着重要的意义，它是物质运动的主要存在形式，在数学上表现为二阶齐次线性微分方程的解。下面，将从数学和物理的分析角度，对机械振动及其衍生的问题进行分析。
无论是河流的潮汐还是各种工程的建设，都是机械振动的体现和运用
机械振动中最简单的简谐运动涉及到一个弹性的回复力。根据胡克定律，这个弹性的回复力的大小与相对于初始位置的位移成正比，方向与位移相反，表示为
，k为振动系统的劲度系数，它与回复力的施力物体的性质有关。又由牛顿第二定律得
，即
，
，因此可以化为二阶线性齐次微分方程
。
解二阶线性齐次微分方程，是研究本篇研究的及第2篇将要研究的运动的基础。
对于上面形式的二阶线性齐次微分方程，可以通过证明得到，当
时，
，
，于是就可以把r提取出来，把二阶线性齐次微分方程化为
这样的一元二次方程来求解。根据一元二次方程的定义，可以得到两个共轭虚根
。这两个根对应原方程的两个特解，因此可以推出
，由欧拉公式得
，因此可以得到通解
。
余弦（或正弦）振动本质就是没有一阶项的二阶线性齐次微分方程的通解
为了更加清晰地体现这种运动的特征，令
，
，
，即可把通解变换为
。这就是最简单的机械运动，也就是简谐运动的运动方程。其中的x表示相对于初始位置的位移，A表示振幅，ω表示角频率（也就是角速度，由此可得周期
，频率
），φ表示初相（也就是开始的时候对应的角位置）。
又由于ω只与劲度系数k和物体的质量m有关，所以周期和频率只与振动系统自身的物理性质有关。在没有阻力的情况下，周期和频率也可以被称为固有周期和固有频率。但有阻力的情况下周期和频率不等于固有周期和固有频率，将在第2篇中谈及。
对这个运动方程进行求导，即可得到速度
，加速度
，因而有当相对于初始位置的位移最大时，速度为0，加速度最大，为Aω^2，且方向与位移方向相反；当回到初始位置时，速度最大，为Aω，加速度为0。
因此，根据动能定理可以计算出运动的动能为
，振动的势能为
，因此总机械能为
。过程中只有弹性回复力这一保守内力做功，所以机械能守恒，即只有动能和振动的势能之间的转化。
由于简谐运动机械能守恒，所以其能量能不衰减地传下去
这就是简谐运动的振动规律，运动的对象在没有其他阻力的情况下，按照某个特定的余弦（或正弦）周期不停息地做往复运动。
这种运动是机械运动中最简单，也最理想的一种。在足够长的时间里，它会一直保持着最初的周期、频率和振幅。在现实世界中，钟的摆动，风吹过树枝的摇动，入海口附近河流的涨落，甚至走路的发辫的摇动，人的心跳节律，在理想状态下都可以看成简谐运动。
简谐运动在生活中有很多近似的例子，但由于外界阻力总存在，所以完全的简谐运动几乎不存在，详见第2篇
但是在现实世界中看到的简谐运动往往不是由单一的简谐运动组成的，例如我们日常听到的音乐，大戏，雷雨声都是由多个声音的简谐运动合成而来的。简谐运动的合成，又涉及到什么样的数学变换呢？
灯光里奏出的音乐、大戏的锣鼓、钢琴的乐音、云层间的闪电，都涉及到简谐运动的合成
根据三角恒等变换的规则，对于多个简谐运动，可以得到位移
，其中当频率相同时，
，其中
，
，这个过程可以把每一个简单简谐运动的位移看成是一个矢量 Ai ， Ai 的合成的大小即为振幅的大小A。所以当所有的简单简谐运动之间的相位差恰为2π的整数倍时，A最大，为
，若它们的相位差之和恰为2π的整数倍时，所有振幅被抵消，A为0。
当两个振幅相同，频率和初相不同的简单简谐运动合成时，位移
，可以化为，
，其中
，
，
。可见，这是一个合振幅随着时间的变化而变化的简谐运动，其角频率恒定为
，但因为余弦函数的绝对值的周期为π，故其频率为
。与此同时，也可以得到合振幅的变化角频率为
，频率为
，初相为
。
这种现象被称为拍。其中频率
被称为拍频，它代表着对于两个振幅相同、频率和初相不同的简单简谐运动来说，每两次相位相差
之间需要经过
的时间（即周期）。当两个简单简谐运动的初相相同时，表示合振幅的最大值和最大值（或最小值和最小值）之间经过的时间。
在现实世界中，当两频率之差远小于两频率之和时，就会出现这种简谐运动频率时而增大，时而减小的拍现象。例如两个音色和频率相近的人唱歌的时候，就会听到这样的时而强时而弱的现象。
拍现象可以应用于对速度、距离、声音传播的测量
到这里，简单简谐运动的合成可以推广到更为一般的情况，此时
，其中
，
，
，
。
其运算的原则是遵循向量相加的原则，即把运动方程视为一个模长为振幅（A），方向为相位角（ωt+φ）的向量 x ，按向量的加法原则对运动相加，通过这种方法可以合成方向相同的有限多个简单简谐运动。不过当简谐运动的合成越来越复杂的时候，其振动也越来越无规律，体现在如噪声的发生上。
当千万人的身体运行作简谐运动时，运动的波形就会无穷叠加为复杂的波，详见第3篇
2
但是，这种理想的状态只能在外界阻力相对影响微乎其微（如氢原子的振动、足够宽阔的海洋的潮汐、万有引力对时空的扭曲传播等）的情况下实现。大多数的机械振动，都是在有阻力的情况下发生的，这种运动被称为阻尼运动。
阻尼运动比简谐运动更加普遍，高层建筑的抗风装置（如Canton Tower 110层的阻尼器），轨道交通设置的隔音屏和减震道床应用了阻尼运动，日常生活中吊起来的物件在足够长时间内震动幅度会越来越小，香蕉砍下来的过程中树的摇动会越来越小，是阻尼运动的表现。
大部分的机械振动都是阻尼运动的应用和体现
阻尼运动涉及到的力除了前述的弹性的回复力之外，还有一个与运动速度成正比的阻力，可以表示为
，因此由牛顿第二定律可以推出
，即
，根据1中给出的二阶线性齐次微分方程的解法可得
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
