Question

设6阶方阵a的秩为3,则其伴随矩阵的秩也是3 判断是什么?

Answer 1

判断是不对。

原因：

1、AA*=|A|E=0，所以R（A*）+R（A）≤R（AA*）+4=4。R（A*）≤4-3=1。

2、又因为R（A）=3，所以其三阶代数余子式至少有一个不为0。

3、因此A*不为零，故R（A*）≥1，上述可知，R（A*）=1。

故答案为1。

证明如下所示：

1、若秩r(A)=n，说明行列式|A|≠0，说明|A*|≠0，所以这时候r(A*)=n。

2、若秩r(A)<n-1，说明，行列式|A|=0，同时，矩阵A中所有n-1阶子式均为0，即行列式|A|的所有代数余子式均为0，所以这时候r(A*)=0。

3、若秩r(A)=n-1，说明，行列式|A|=0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有：AA*=|A|E=0。

4、从而r(A)+r(A*)小于或等于n，也就是r(A*)小于或等于1，又因为A中存在n-1阶子式不为0，所以Aij≠0，得r(A*)大于或等于1，所以最后等于1。