Question

求证：a≤几何平均数，平方平均数，算术平均数?

Answer 1

a≤调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数≤b
二元的易证，多元的就有点麻烦了。下面给二元的证明，多元的找本竞赛书看吧。
以下设a、b均为正数（这是为了避免分母为0的情况，否则对一些式子非负数也成立）。
基础的，几何和算术：因(a
-
b)^2
>=
0，即(a
+
b)^2
-
4ab
>=
0，故a
+
b
>=
√(4ab)
=
2√(ab).
调和与几何：利用上式，有1
/
(1/a
+
1/b)
=
ab/(a+b)
<=
ab
/
2√(ab).
算术与平方：因(a^2
+
b^2)
/
2
-
(a/2
+
b/2)^2
=
(a
-
b)^2
/
4
>=
0，故√((a^2
+
b^2)
/
2)
>=
(a
+
b)/2.
n元的情况，几何与算术可以用归纳法来证，有一点小技巧；也可以做为其他一些不等式的推论，如排序不等式、cauchy不等式，jensen不等式等。另几个也是类似的。其中jensen不等式是关于凸函数性质的，证明要用到高等数学，不过比较广泛，上面的几个不等式好像都可以用它推出来。要看初等的证明方法还是看竞赛书吧
调和:2
/
(1/a
+
1/b)
=
2ab/(a+b)
2ab/(a+b)
和a同乘a+b
然后可以得到
a^2+ab<2ab
所以a≤调和平均数
平方平均数≤b
两边同平方
(a^2+b^2)/2
b^2
同乘以2
a^2+b^2<2b^2
所以平方平均数≤b

Answer 2

以下设a、b均为正数（这是为了避免分母为0的情况，否则对一些式子非负数也成立）。
基础的，几何和算术：因(a - b)^2 >= 0，即(a + b)^2 - 4ab >= 0，故a + b >= √(4ab) = 2√(ab).
调和与几何：利用上式，有1 / (1/a + 1/b) = ab/(a+b) <= ab / 2√(ab).
算术与平方：因(a^2 + b^2) / 2 - (a/2 + b/2)^2 = (a - b)^2 / 4 >= 0，故√((a^2 + b^2) / 2) >= (a + b)/2.

n元的情况，几何与算术可以用归纳法来证，有一点小技巧；也可以做为其他一些不等式的推论，如排序不等式、Cauchy不等式，Jensen不等式等。另几个也是类似的。其中Jensen不等式是关于凸函数性质的，证明要用到高等数学，不过比较广泛，上面的几个不等式好像都可以用它推出来。