Question

a,b,c∈(1,2),求(a^3+b^3+c^3)/abc最大值

Answer 1

当a,b,c∈(1,2),求证(a^3+b^3+c^3)/abc<5

我想，应该研究f(x)=x^2+k/x(k>0)的单调性。再用局部调整法做出来。

Answer 2

运用函数思想：

令f（a）=（1/bc）[a²+（b³+c³）/a]，1＜a＜2.

f′（a）=（1/a²bc）（2a³－b³-c³）。

令f′（a）=0，解得a1=3√[（b³+c³）/2]。

可知1＜a1＜2.

所以f（a）在（1，a1）上单调递减，在（a1,2）上单调递增。

所以f（a）的最大值为f（1）或f（2）。

同理，当且仅当b，c取1或2时，原代数式取最大值。

①a=1，b=1，c=1，原式=3；

②a=1，b=1，c=2，原式=5；

③a=1，b=2，c=2，原式=4.25；

④a=2，b=2，c=2，原式=3。

综上所述，当且仅当a，b，c中两个取1，一个取2时，原式取最大值，为5.

---

需要高三学过函数的导数，才能用。