Question

1/1+sinx的不定积分是什么?

Answer 1

1/1－sinx的不定积分是tanx+secx+C。

解：

∫x/(1-sinx)

=∫[(1+sinx)/(1+sinx)(1-sinx)]dx

=∫[(1+sinx)/(1-sin²x)]dx

=∫[(1+sinx)/cos²x]dx

=∫[1/cos²x]dx+∫sinx/cos²x]dx

=∫sec²xdx-∫d(cosx)/cos²x]

=tanx+secx+C

所以1/1－sinx的不定积分是tanx+secx+C。

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。