Question

高数的问题？

为啥这题不能先求f（x）的原函数F（x），再通过 F(x)求导得出f（x） ？





Answer 1

手写的倒数第 2 步错误。 中间过程不能用 F(x) 代换 F(t)，
因 t = x^2，还要涉及复合函数求导.
∫f(x^2)dx = e^(x/2) + C, 两边分别 对 x 求导， 得
f(x^2) = (1/2)e^(x/2), 令 x = √u ，得 f(u) = (1/2)e^(√u/2),
求出了 f(u), 可以 x 代 u， 得 f(x) = (1/2)e^(√x/2)

Answer 2

对已知式求导，得f(x^2)=e^(x/2)*1/2,,
以√x代x,得f(x)=(1/2)e^(√x/2），
已知式的右边是f(x^2)的原函数，不是f(x)的原函数。
可以吗？

Answer 3

let
g(x) =f(x^2)
∫ f(x^2) dx = e^(x/2) +C
∫ g(x) dx = e^(x/2) +C
d/dx [∫ g(x) dx] = d/dx [e^(x/2) +C]
g(x) = (1/2)e^x
f(x^2) = (1/2)e^x
f(x) =(1/2)e^(√x)