Question

想到一个问题，如果判别式大于零，原方程式一定无法分解为因式吗？成立吗？会有反例吗？

Answer 1

你这个说法是存在问题的。

二次方程的判别式Δ有三种情况：

1、Δ>0，即√Δ在实数范围内有意义，原方程就可以进行因式分解，方程存在两个不相同的实数根。例如：x²-x-6=0。Δ=（-1）²-4×1×（-6）=25>0，两个实数根分别为：x1=-3，x2=2。

原方程可以因式分解为：（x-2）（x+3）=0。也可以得到：x1=2，x2=-3。两者是等价的。

2、Δ=0，方程存在两个相等的实数根。此时，原方程也可以进行因式分解，只不过因式分解的结果是完全平方式。如：x²-4x+4=0，Δ=（-4）²-4×4=16-16=0.，x1=x2=2。原方程也可以因式分解为：（x-2）²=0。

3、Δ<0，√Δ在实数范围内无意义。在复数范围内，存在两个不相同/相同的复数根。在中学阶段，我们认为方程的根不存在，此时方程是无法进行因式分解的。如：x²-x+6=0，Δ=（-1）²-4×1×6=-23<0，实数范围内根不存在；同时x²-x+6=0是不能进行实数范围内的因式分解的。

Answer 2

判别式大于零时，方程一定有两个不相等的实数根，原来的二次三项式可以分解为两个或三个不同因式的积。
判别式等于零时，方程有两个相等的实数根，原来的二次三项式可以分解为两个相同的因式的积，这是一个完全平方式。
判别式小于零时，方程无实数根，原来的二次三项式就不能再分解因式。

Answer 3

判别式大于o，表示方程有解，原方程一定可分解成二个因式。
这里表示二条直线有交点。

Answer 4

判别式大于0，说明原方程有两个不同的解，则ax^2+bx+c=0分解为因式(x-(-2b+√(b^2-4ac))/2a)((x-(-2b-√(b^2-4ac))/2a))=0。如x^2-4=0分解因式为(x+2)(x-2)=0。