Question

数学期望是什么

Answer 1

离散型
　　离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率Pi(=xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛）,记为E（x）.随机变量最基本的数学特征之一.它反映随机变量平均取值的大小.又称期望或均值.如果随机变量只取得有限个值,称之为离散型随机变量的数学期望.它是简单算术平均的一种推广,类似加权平均.例如某城市有10万个家庭,没有孩子的家庭有1000个,有一个孩子的家庭有9万个,有两个孩子的家庭有6000个,有3个孩子的家庭有3000个,则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量,记为X,它可取值0,1,2,3,其中取0的概率为0.01,取1的概率为0.9,取2的概率为0.06,取3的概率为0.03,它的数学期望为0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03等于1.11,即此城市一个家庭平均有小孩1.11个,用数学式子表示为：E(X)=1.11.
连续型
　　若随机变量X的分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分,则称X为连续性随机变量,f(x)称为X的概率密度函数（分布密度函数）.　　能按一定次序一一列出,其值域为一个或若干个有限或无限区间,这样的随机变量称为离散型随机变量.　　离散型随机变量与连续型随机变量也是由随机变量取值范围（或说成取值的形式）确定,　　变量取值只能取离散型的自然数,就是离散型随机变量,　　比如,一次掷20个硬币,k个硬币正面朝上,　　k是随机变量,　　k的取值只能是自然数0,1,2,…,20,而不能取小数3.5、无理数√20,　　因而k是离散型随机变量.　　如果变量可以在某个区间内取任一实数,即变量的取值可以是连续的,这随机变量就称为连续型随机变量,
随机变量的数学期望值
　　在概率论 数学期望
和统计学中,一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值,亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和.换句话说,期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值.需要注意的是,期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等.（换句话说,期望值是该变量输出值的平均数.期望值并不一定包含于变量的输出值集合里.）
单独数据的数学期望值
　　对于数学期望的定义是这样的.数学期望 　　E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) 　　X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据,p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几个数据的概率函数.在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi).则：　　E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn) 　　很 北京大学数学教学系列丛书
容易证明E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值.　　我们举个例子,比如说有这么几个数：　　1,1,2,5,2,6,5,8,9,4,8,1 　　1出现的次数为3次,占所有数据出现次数的3/12,这个3/12就是1所对应的频率.同理,可以计算出f(2) = 2/12,f(5) = 2/12 ,f(6) = 1/12 ,f(8) = 2/12 ,f(9) = 1/12 ,f(4) = 1/12 根据数学期望的定义：　　E(X) = 1*f(1) + 2*f(2) + 5*f(5) + 6*f(6) + 8*f(8) + 9*f(9) + 4*f(4) = 13/3 　　所以 E(X) = 13/3,　　现在算这些数的算术平均值：　　Xa = (1+1+2+5+2+6+5+8+9+4+8+1)/12 = 13/3 　　所以E(X) = Xa = 13/3