Question

小学四年级等差数列问题

一。黑白两种颜色的珠子，一层黑、一层白排成正三角形。当白色珠子比黑色珠子多10颗时，共用了多少颗白珠子？
二。珠算练习的时候，用1+2+3+4+------，当加到某个数时，和是1000.在验算时发现重复加了一个数。这个数是多少？
请完整的写出计算过程，使用的公式。非常感谢！！
小学四年级既没有学过开平方数，也没有学过解方程组或者一元二次方程。注意第二题的解答

Answer 1

黑色珠子：1+3+5+7+9+....+2n-1=（1+2n-1)*n/2=n*n;
白色珠子：2+4+6+8+10+...+2n=(2+2n)*n/2=n(n+1);
（总共有2n层）；
n(n+1)-n*n=n=10；
总共用掉10*11=110颗白珠子；

1+2+3+4+------+n=n(n+1)/2;
1+2+3+4+------+n+X=1000；
则：
1+2+3+4+------+n=n(n+1)/2<1000;
1+2+3+4+------+n+n+1=(n+1)(n+2)/2>1000;
有:n=44；

1+2+3+4+------+44=990；
X=1000-990=10；

Answer 2

1：黑色珠子组成数列为：1，3，5...,(2a-1)(a=1,...)
白色珠子组成数列为：2,4,6,...,(2b)(b=1,...)
黑色珠子颗数和为=(1+2a-1)*a/2=a^2
白色珠子颗数和为=(2+2b)*b/2=b(b+1)
由图形可知，是一层黑色，一层白色排列，则b=a
若白色比黑色多10颗时，有方程如下：
b(b+1)=a^2+10,代入b=a得
a(a+1)=a^2+10,解得a=10
此时白色珠子颗数=10*11=110

2：1+2+3+...+n,数列的和=n*(1+n)/2
设重复加的数为x，则n*(n+1)/2=1000-x
n*(n+1)/2<1000,可得出n<45,因此x<45
若n=43时，数列和为43*44/2=946
x=1000-946=54>45不成立
所以n=44
x=1000-(44*45/2)=10

Answer 3

一：通过观察可以看出每两层白和黑子，白子就比黑子多1个，即：2层 白比黑多1，4层 白比黑多2，6层 白多3.....当白比黑多10个时，一共有20层。白子黑子各10层。所以白子数量是一个差d=2，n=10的等差数列。(计算：S=na1+n(n-1)*d/2=110)

二：设最后一个数是n， 那么该数列是一个公差为1的数列，当数列没有加上哪个重复的数时，该数列的和应该小于100，即
1+2+3+.....+n=n*1+n(n-1)*1/2<1000 大致求得n是44或者45，n=44时，可以求得1+2+。。。+44=990 可以看出还差10，即重复的数就是10. n=45时，1+2+。。+45=1035已经大于1000了是错的。 所以答案是10.（注意答案不能大于n)

Answer 4

一。黑白两种颜色的珠子，一层黑、一层白排成正三角形。当白色珠子比黑色珠子多10颗时，共用了多少颗白珠子？

依次来看 每个相邻黑白两行 白子比黑子多一个

把1、2算一次
3、4算一次

……算一次 的话

要最终白子比黑子多10颗

则 多10颗 → 10次→ 20行 → 1+2+3+……+20=21*10
=210

Answer 5

一：黑的：1+3+5+7.......
白的：2+4+6+8...........，白减黑各得1，所以十个，此时白的2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110
二：Sn=n(a1+an)/2

an=a1+(n-1)d
这里a1=d=n=1
由已知得Sn+an=1000
所以：(1+n)/n+n=1000
n=。。。。。。。。。。

二：黑色珠子：1+3+5+7+9+....+2n-1=（1+2n-1)*n/2=n*n;
白色珠子：2+4+6+8+10+...+2n=(2+2n)*n/2=n(n+1);
（总共有2n层）；
n(n+1)-n*n=n=10；
总共用掉10*11=110颗白珠子；

1+2+3+4+------+n=n(n+1)/2;
1+2+3+4+------+n+X=1000；
则：
1+2+3+4+------+n=n(n+1)/2<1000;
1+2+3+4+------+n+n+1=(n+1)(n+2)/2>1000;
有:n=44；

1+2+3+4+------+44=990；
X=1000-990=10；