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1. 线性代数知识图谱
线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程。变于关量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。
线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数
非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。
行列式非零矩阵可逆方阵满秩向量组满秩（向量个数等于维数）。
2. 行列式
2.1 定义
矩阵的行列式，determinate（简称det），是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量。是为求解线性方程组而引入的。
2.2 二阶行列式
计算方式：对角线法则
2.3 三阶行列式
计算方式：对角线法则
2.4 n阶行列式2.4.1 计算排列的逆序数
2.4.2 计算n阶行列式
2.4.3 简化计算总结
2.4.4 行列式的3种表示方法
2.5 行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等
注：行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k乘以此行列式.
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则等于对应的两个行列式之和.
性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
2.6 计算行列式的方法
1）利用定义
2）利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值
定理中包含着三个结论：
1）方程组有解；（解的存在性）
2）解是唯一的；（解的唯一性）
3）解可以由公式(2)给出.
定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 .
定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.
齐次线性方程组的相关定理
定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于0，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解.
定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.
1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件
1) 方程个数等于未知量个数；
2) 系数行列式不等于零.
2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于理论推导．
2.8 行列式按行(列)展开
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.
3. 矩阵
3.1 矩阵的定义
3.1.1 矩阵与行列式的区别
3.2 特殊矩阵
3.3 矩阵与线性变换
3.4 矩阵的运算3.4.1 矩阵的加法
行列式与矩阵加法的比较：
3.4.2 数乘矩阵
3.4.3 矩阵与矩阵相乘
3.4.4 矩阵的转置
反对称矩阵(skew symmetric matrix)
3.4.5 方阵的行列式
3.4.6 伴随矩阵
3.4.7 共轭矩阵
3.5 可逆矩阵(或称非奇异矩阵)
3.6 矩阵分块法
分块矩阵不仅形式上进行转置，而且每一个子块也进行转置．
4. 矩阵的初等变换与线性方程组
4.1 矩阵的初等变换
4.2 矩阵之间的等价关系
4.3 初等变换与矩阵乘法的关系
4.4 矩阵的秩
4.5 线性方程组的多解
5. 向量组的线性相关性
5.1 向量组及其线性组合
5.2 向量组的线性相关性
5.3 向量组的秩
结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩是唯一的．
5.4 线性方程组的解的结构
问题：什么是线性方程组的解的结构？
答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系．
备注：
1）当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构．
2）下面的讨论都是假设线性方程组有解．
5.5 向量空间5.5.1 封闭的概念
定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．
5.5.2 向量空间的概念
定义：设 V 是 n 维向量的集合，如果
① 集合 V 非空，
② 集合 V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭，
具体地说，就是：
若 a ∈ V， b ∈ V，则a + b ∈ V ．（对加法封闭）
若 a ∈ V， l ∈ R，则 l a ∈ V ．（对乘数封闭）
那么就称集合 V 为向量空间．
5.5.3 子空间的概念
定义：如果向量空间 V 的非空子集合 V1 对于 V 中所定义的加法及乘数两种运算是封闭的，则称 V1 是 V 的子空间．
5.5.4 向量空间的基的概念
6. 相似矩阵及二次型
6.1 向量的内积、长度及正交性
6.1.1 向量的内积
6.1.2 向量的长度或范数
单位向量：长度为1的向量。
6.1.3 向量的正交性
向量正交：向量内积为0。
6.1.4 正交矩阵或正交阵
6.1.5 正交矩阵的性质
6.2 方阵的特征值与特征向量
6.2.1 正定矩阵/半正定矩阵
1）矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于等于零(>=0)。
2）矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零(>0)。
6.3 相似矩阵
6.4 对称矩阵的对角化
6.5 二次型及其它标准型
还不知道如何报名美赛的小伙伴看过来！
模小数致力于为国内学生报名国际赛事
为同学们省去大部分繁琐流程的同时
还附赠赛题讲解
现针对美赛特推出美赛辅助报名！
（MCM/ICM）
2022年美国数学建模竞赛报名开始
辅助报名优势
通过辅助报名过程简单，直接在线报名组队，使用微信/支付宝即可缴费，无须VISA等国外银行卡，很大程度地方便了学生的报名
报名通道简单安全，报名后在我的消息中收到美赛队号的通知
额外赠送大量资料、视频、课程、软件以及赛题翻译等服务（报名后无需等待立即开始学习、而且报名同学同享）
历年成绩
至今已成功为2万多支队伍，近6万名学生完成了美赛辅助报名！
2021年通过模小数完成报名的队伍中
获得Outsanding Winner奖的队伍有2支
其中一支获得了Frank Giordano Award！
有50余支队伍获得F奖
近200支队伍获得M奖
以及500多支队伍获得H奖！
F奖竞赛官方整体比例为1%，通过我们辅助报名的参赛同学获奖比例高达1.73%，整整超出0.73%，H奖超出官方整体比例0.43%！
辅助报名费用
集体报名
集体报名780元/队（含证书），集体报名需10队以上，集体报名表见下面附件。报名表格和交费截图发送至美赛辅助报名邮箱：1634852137@qq.com
说明：美赛证书每人一份，证书上队员名字排名不分先后，各参赛队员具有同等的贡献率。
报名福利
凡是报名参加“美赛辅助报名以及证书打印邮寄活动”的同学，均可享受以下服务
1.数学建模资料大礼包（历年美赛特等奖论文、UMAP等资料，Matlab、SPSS等软件包）
2.免费获得价值500元的美赛专属课程一门，3人同享（共30学时，包含：数学建模入门、数学实验、初等数学模型、优化数学模型、排队论模型、数学处理模型、智能优化算法、赛题解析、学术论文的写作与投稿九大方面的内容）
3.免费获得2020-2021年美国大学生数学建模竞赛真题的视频讲解。
课程报名后直接开通
资料凭借报名成功截图
添加刘老师QQ：1634852137领取资料！
联系方式
辅助报名负责人QQ：1634852137
美赛辅助报名接待群：1014064840
客服微信号：
报名链接：
联系方式
1、在线WEB支付
在 http://www.saikr.com/comap/2022 进行报名
2、集体报名交费
联系QQ：1634852137
集体报名交费时备注：学校+队数+报名+证书，若只报名，备注为：学校+队数+报名，交费后，把集体报名表和交费截图一起发到美赛辅助报名邮箱：3159164017@qq.com,需要开发票的请联系工作人员。
服务截止时间是2022年02月17日，请需要的同学务必在这之前联系美国数模辅助报名工作人员，过期不候！
报名的同学请加QQ群：1014064840，仅限准备报名的同学，和群里辅助报名工作人员联系。如有对服务内容不明的同学可以联系QQ：1634852137咨询，该项服务的最终解释权美赛辅助报名所有。
注意：竞赛报名截止前可以修改队伍信息，如需修改信息可直接在美赛官网修改或联系辅助报名工作人员（QQ：1634852137）修改。
P.S：
对于2022年美赛，还为大家开通了另外两个千人群，主要为全国建模爱好者提供交流学习的平台，请加群：909286732（2022美赛备战群） ，备注：MCM！我们期待你的加入！
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线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程。变于关量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。
线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数
非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。
行列式非零矩阵可逆方阵满秩向量组满秩（向量个数等于维数）。
2. 行列式
2.1 定义
矩阵的行列式，determinate（简称det），是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量。是为求解线性方程组而引入的。
2.2 二阶行列式
计算方式：对角线法则
2.3 三阶行列式
计算方式：对角线法则
2.4 n阶行列式2.4.1 计算排列的逆序数
2.4.2 计算n阶行列式
2.4.3 简化计算总结
2.4.4 行列式的3种表示方法
2.5 行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等
注：行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k乘以此行列式.
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则等于对应的两个行列式之和.
性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
2.6 计算行列式的方法
1）利用定义
2）利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值
定理中包含着三个结论：
1）方程组有解；（解的存在性）
2）解是唯一的；（解的唯一性）
3）解可以由公式(2)给出.
定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 .
定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.
齐次线性方程组的相关定理
定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于0，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解.
定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.
1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件
1) 方程个数等于未知量个数；
2) 系数行列式不等于零.
2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于理论推导．
2.8 行列式按行(列)展开
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.
3. 矩阵
3.1 矩阵的定义
3.1.1 矩阵与行列式的区别
3.2 特殊矩阵
3.3 矩阵与线性变换
3.4 矩阵的运算3.4.1 矩阵的加法
行列式与矩阵加法的比较：
3.4.2 数乘矩阵
3.4.3 矩阵与矩阵相乘
3.4.4 矩阵的转置
反对称矩阵(skew symmetric matrix)
3.4.5 方阵的行列式
3.4.6 伴随矩阵
3.4.7 共轭矩阵
3.5 可逆矩阵(或称非奇异矩阵)
3.6 矩阵分块法
分块矩阵不仅形式上进行转置，而且每一个子块也进行转置．
4. 矩阵的初等变换与线性方程组
4.1 矩阵的初等变换
4.2 矩阵之间的等价关系
4.3 初等变换与矩阵乘法的关系
4.4 矩阵的秩
4.5 线性方程组的多解
5. 向量组的线性相关性
5.1 向量组及其线性组合
5.2 向量组的线性相关性
5.3 向量组的秩
结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩是唯一的．
5.4 线性方程组的解的结构
问题：什么是线性方程组的解的结构？
答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系．
备注：
1）当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构．
2）下面的讨论都是假设线性方程组有解．
5.5 向量空间5.5.1 封闭的概念
定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．
5.5.2 向量空间的概念
定义：设 V 是 n 维向量的集合，如果
① 集合 V 非空，
② 集合 V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭，
具体地说，就是：
若 a ∈ V， b ∈ V，则a + b ∈ V ．（对加法封闭）
若 a ∈ V， l ∈ R，则 l a ∈ V ．（对乘数封闭）
那么就称集合 V 为向量空间．
5.5.3 子空间的概念
定义：如果向量空间 V 的非空子集合 V1 对于 V 中所定义的加法及乘数两种运算是封闭的，则称 V1 是 V 的子空间．
5.5.4 向量空间的基的概念
6. 相似矩阵及二次型
6.1 向量的内积、长度及正交性
6.1.1 向量的内积
6.1.2 向量的长度或范数
单位向量：长度为1的向量。
6.1.3 向量的正交性
向量正交：向量内积为0。
6.1.4 正交矩阵或正交阵
6.1.5 正交矩阵的性质
6.2 方阵的特征值与特征向量
6.2.1 正定矩阵/半正定矩阵
1）矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于等于零(>=0)。
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以及500多支队伍获得H奖！
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P =
[3 2]
[1 1]
得 P^(-1) =
[ 1 -2]
[-1 3]
A = PBP^(-1),
A^5 = PBP^(-1)PBP^(-1)PBP^(-1)PBP^(-1)PBP^(-1) = PB^5P^(-1) =
[67 -198]
[33 -98]
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得 P^(-1) =
[ 1 -2]
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A = PBP^(-1),
A^5 = PBP^(-1)PBP^(-1)PBP^(-1)PBP^(-1)PBP^(-1) = PB^5P^(-1) =
[67 -198]
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