Question

已知函数，当x<0时，f(x)=-x+1;当x>=0时，f(x)=x-1;则不等式x+(x+1)f(x+1)<=1的解集为____

请快速给出答案。谢谢！

Answer 1

x<-1,x+1<0
所以f(x+1)=-(x+1)+1=-x
所以x-(x+1)*x<=1
-x^2-1<=0
恒成立
所以x<-1，

x>=-1,x+1>=0
所以f(x+1)=(x+1)-1=x
所以x+(x+1)*x<=1
x^2+2x-1<=0
-1-√2<=x<=-1+√2
x>=-1，
所以-1<=x<=-1+√2

所以x<=-1+√2

Answer 2

x<0时x+(x+1)f(x+1)＝x+(x+1)(－x+2)＝-x^2+2x+2<=1
-x^2+2x+1<=0解出（去掉x>=0的解）
x>=0时x+(x+1)f(x+1)＝x+(x+1)x＝x^2+2x<=1
x^2+2x-1<=0解出（去掉x<0的解）
综合上两解就可得，
自己解一下。

Answer 3

解：
①当x+1≥0,即x≥-1时
x+(x+1)f(x+1)≤1

x+(x+1)(x+1-1)≤1

x+x(x+1)≤1

x^2+2x-1≤0

解得-1-√2≤x≤-1+√2
所以-1≤x≤-1+√2

②当x+1＜0,即x＜-1时
x+(x+1)f(x+1)≤1

x+(x+1)[-(x+1)+1]≤1

x-x(x+1)≤1

-x^2≤1（恒成立）

综上所述，
不等式x+(x+1)f(x+1)<=1的解集为(-1,-1+√2)

Answer 4

设t=x+1则;
t+tf(t)<=2;
当t<-1时,
t+t(2-t)<=2;
t>=2,t<=1
当t>=-1时,
t+t(t-2)<=2;
-1<=t<=2;
所以t<=2,
既x+1<=2;
x<=1
{x|x<=1}

Answer 5

-1<=x<=√2-1或x<-1，