Question

线性空间的维度与基

Answer 1

张成一个线性空间所需的最少元素个数称为该空间的 维度(dimension) ，一般用dim表示。而这一组元素称为一组 基 。

一组基中的各个元素一定是 线性独立 的，否则，在去掉某个与其他元素线性相关的元素后，其余元素仍然可以张成该线性空间。这就是说，在这组元素中存在“多余”的元素，不满足基的定义中“最少元素”的要求。基的线性独立性，可以等价表示为：

若不然，假设 ，那么 ，可见 可以由 线性表出，这与 线性独立矛盾。

由于基中元素彼此线性独立，因此一组基不包含零元。其次，基的选取可以是不唯一的。

例如x的3次多项式构成的线性空间 ， 的一组基可以是： .不难看出，它们可以张成 空间。又因为若对于任意x， 都成立，只可能 ，因此这一组元素彼此也是线性独立的。

对于某个线性空间V，当给定一组基 后，对于任意V中的元素x，存在 唯一的 一组系数 ，使得 .可以利用反证法证明：

由基展开的唯一性，当 ，且矩阵A的列矢量线性独立（即构成C(A)的一组基）时，方程Ax=b有唯一解。

下面介绍 线性子空间 的维度与基。

若W是V的子空间，则dim(W)≤dim(V).同样可以利用反证法证明：

在上述证明中， 这个式子本身是正确的。根据之前的笔记 《矩阵的四个基本子空间》 中的结论，有： ，根据上面的论证，这同时说明了 .

对矩阵 ，因为 ， ，所以有 ，

对于一个矩阵A来说，方程Ax=0的通解可以写成以x中的自由变量为参数的形式。并且由于每一个自由变量对应的矢量一定是线性独立的，因此x=0当且仅当所有自由变量的值取0.

因此，在矩阵A中去掉自由变量对应的列矢量，相当于将其通解中的自由变量全部取0，那么其通解为x=0.也就是说，经过删去自由变量对应的列矢量后得到的矩阵A'满足A'x=0只有x=0这一平凡解，即A'的列矢量线性独立。

故A'中的列矢量能够张成C(A)，且是C(A)的一组基。

如果我们能从 中挑出一部分线性无关的矢量，使它们能张成原矢量组所张成的空间 ，则称挑出的一部分矢量是一组 极大线性无关组 。

由上述论证容易看出，构造矩阵 ，对V进行初等行变换确定自由变量，删去自由变量所对应的列矢量，剩下的矢量即为一组极大线性无关组。

例如，要求 ， ， ， ， 的极大线性无关组，可以有如下方法：

显然，一个矩阵列矢量的一组极大线性无关组是其列空间的一组基。因此，矩阵列空间的维度与其阶梯形式的主元个数是相等的。

将矩阵转置，进行同样的操作，便可以同理得到：矩阵行空间的维度也等于其阶梯形式的主元个数。

而对于零空间来说，由于任意Ax=0的解都可以用自由变量为参数的形式表示，因此矩阵的零空间维度等于其自由变量的个数。由此我们得到矩阵的 零化度定理 ：

并且可以看出，零空间的一组基正是Ax=0通解中的矢量。

对于左零空间来说，只要把矩阵转置，则与确定零空间维度类似，它的维度是A的行数-主元个数。