Question

求问高中数学！复合函数的问题！

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

C
一个是保证二次函数顶点小于1，然后保证取1的时候二次函数的值大于0

Answer 3

01原题类型
若函数f(x)=㏒(8x－ax^2)(以a为底的对数)(a>0,且a≠1)在(1/4a^2,a^2)上单调递减，则实数a的取值范围是多少？
图一
该题是一个复合函数的题型，所谓的复合函数就是将两种或者两种以上的初等函数放在一起，就叫复合函数。
该题是对数函数和二次函数相结合的题型。
对于给出的复合函数的题型，往往是很多同学容易出错的地方。
原因：一般都是在思考这个函数的性质时，将另外一种函数的性质就忘记了。
所以做这样的题的时候，我们要先分清楚该复合函数都包括哪两个初等函数，先将每种初等函数的性质根据题意列出来，然后再思考其他的知识点。
下面就讲解题的过程中详细地说明，大家的易错点和解题方法。
在解答该题的过程中，我们首先要知道该题中的知识点。
那复合函数都有哪些知识点呢？
02复合函数的知识点
如果是两个函数组成的复合函数，即y=f(g(x))的形式。
则该复合函数的单调性满足：同增为增；同减为增；一增一减为减。
所以该题给出的f(x)=㏒(8x－ax^2)(以a为底的对数)(a>0,且a≠1)需要分别说明这两个函数的单调性，即对数函数和二次函数的单调性，来获得该复合函数的单调性。
即该复合函数的单调性受组合该复合函数的两个初等函数的单调性所决定。
但是该复合函数的中包含着参数a，所以要想知道该复合函数的单调性要分布说明a的范围来说明对数函数和初等函数的单调性。
03分布讨论说明对数函数和二次函数的单调性
当a>1时，则对数函数是增函数。
此时二次函数y=8x－ax^2是一个开口向下的抛物线。
要想满足该复合函数在区间(1/4a^2,a^2)上是单调递减，则二次函数在(1/4a^2,a^2)上就应该是单调递减区间。
因为二次函数的单调递减区间为[4/a,+∞)，则区间(1/4a^2,a^2)就应该是区间[4/a,+∞)的子区间，即1/4a^2≥4/a。
图二
注意：对数真数大于0，所以8x－ax^2>0——该点易忘记，也是该题易错点之一。
当0<a<1时，则对数函数是减函数。
此时二次函数还是开口向下。
要想该复合函数f(x)在区间上(1/4a^2,a^2)单调递减，所以二次函数y=8x－ax^2在区间(1/4a^2,a^2)应该是单调递增。
二次函数的单调递增区间为(－∞,4/a]，则区间(1/4a^2,a^2)是区间(－∞,4/a]的子区间，则满足a^2≤4/a。
同时还要满足对数的真数大于0.
04该题的答案
通过上述的分析，可有的不等式为：
当a>1时，有1/4a^2≥4/a和8x－ax^2>0；
当0<a<1时，有a^2≤4/a和8x－ax^2>0.
那是不是这样列算式就完事了呢？
答案：不是。
注意：当给出的区间都是字母时候，还要保证该区间有意义。即1/4a^2<a^2.
这是又一处易错的地方，需要大家注意的。
正确答案：
第一步，先得出a的范围。
因为(1/4a^2,a^2)要有意义，则1/4a^2<a^2，解得到a>√2/2.
又因为a>0且a≠0，所以此时a的取值范围为(√2/2,1)∪(1,+∞)。
第二步，分布讨论。
当√2/2<a<1时，则对数函数y=㏒x(以a为底的对数)是单调递减的函数，则此时二次函数y=8x－ax^2在区间(1/4a^2,a^2)上就单调递增函数。
图三
则有a^2≤4/a，解得到a≤3次根号下4。
因为8x－ax^2是对数的真数，则有8x－ax^2>0，即在区间(1/4a^2,a^2)上大于0即可，则有f(1/4a^2)>0，解得到a>1/32.
上述a的取值范围取交集，则此时a的取值范围为√2/2<a<1.
当a>1时，对数函数是增函数，所以二次函数y=8x－ax^2在区间(1/4a^2,a^2)是单调递减的函数。
则有1/4a^2≥4/a，解得到a≤1/16.
因为8x－ax^2是对数的真数，则有8x－ax^2>0，即在区间(1/4a^2,a^2)大于0即可，则有f(a^2)>0，解得到a<8.
上述a的取值范围取交集，则此时a的取值范围为空集。
第三步，得出a的取值范围。
分步讨论是每一步都满足条件，所以上述当√2/2<a<1和当a>1时，求的的a的取值范围要取并集。
综上所述，a的取值范围为√2/2<a<1.
05总结
对于复合函数的题型：
先看区间，满足区间有意义；
再看，复合函数是哪两种函数的组成，先将满足这两个函数的条件列出来；
再次，根据函数同增异减的原则，以及根据题给出的单调性，分别说明这两个函数的单调性，将这两个函数单调性结合满足上述题中的单调性。
最后列出不等式组。
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