Question

已知a大于等于0,求函数y=(sinx+a)(cosx+a)的最大值和最小值．

Answer 1

y=(sinx+a)(cosx+a)
=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a^2
=1/2*sin2x+a√2*sin(x+45)+a^2
=1/2*cos[2(x-45)]+a√2*cos(x-45)+a^2
=cos(x-45)^2-1/2+a√2*cos(x-45)+a^2
=cos(x-45)^2+a√2*cos(x-45)+a^2-1/2
=[cos(x-45)+a√2/2]^2+1/2*a^2-1/2
(1)当a>√2时,a√2/2>1.
当x=360k-45度,时
cos(x-45)=-1
这时有最小值y=a^2-√2*a+1/2
当x=360k+45度,时
cos(x-45)=1
这时有最大值y=a^2+√2*a+1/2
(2)当a≤√2时,a√2/2≤1.
当cos(x-45)=-a√2/2,时
这时有最小值y=1/2*a^2-1/2
当x=360k+45度,时
cos(x-45)=1
这时有最大值y=a^2+√2*a+1/2