Question

用微积分-傅立叶变换求解下题

1.已知F[f(t)]=F(ω),则F[t^2f(2t)]=_____________ ， F[f(t)sin 3t]=_____________

Answer 1

设F[f(t)]=F(ω)=F(e^(iωt))，则f(t)=∫F(ω)e^(-iωt)dω
所以F[t^2f(2t)]=∫F(ω)e^(-iωt^2)dω
按照欧拉公式，有e^(it)=cos(t)+isin(t)，所以
F[t^2f(2t)]=∫F(ω)(cos(-iωt^2)+isin(-iωt^2))dω
=∫F(ω)cos(-iωt^2)dω+∫F(ω)isin(-iωt^2)dω
即：F[t^2f(2t)]=Re[F[t^2f(2t)]]+Im[F[t^2f(2t)]]
其中Re[F[t^2f(2t)]]表示F[t^2f(2t)]的实部，Im[F[t^2f(2t)]]表示F[t^2f(2t)]的虚部。
设F[f(t)]=F(ω)=F(e^(iωt))，则f(t)=∫F(ω)e^(-iωt)dω
所以F[f(t)sin 3t]=∫F(ω)e^(-iωt)sin 3t dω
按照欧拉公式，有e^(it)=cos(t)+isin(t)，所以
F[f(t)sin 3t]=∫F(ω)(cos(-iωt)sin 3t+isin(-iωt)sin 3t)dω
=∫F(ω)cos(-iωt)sin 3t dω+∫F(ω)isin(-iωt)sin 3t dω
即：F[f(t)sin 3t]=Re[F[f(t)sin 3t]]+Im[F[f(t)sin 3t]]
其中Re[F[f(t)sin 3t]]表示F[f(t)sin 3t]的实部，Im[F[f(t)sin 3t]]表示F[f(t)sin 3t]的虚部。

Answer 2

用微积分-傅立叶变换求解下题
好的，我可以参考你的要求，使用微积分-傅立叶变换来求解这个问题。我可以先根据这个问题的要求，使用数学统计方法，对数据进行变换，然后利用傅立叶变换来求解问题，从而获得最优解。