Question

一个高中数学问题,高手进

Answer 1

分类: 教育/科学 >> 学习帮助
问题描述:

已知函数f(x)=x|x-a|,其中a∈R

已知函数f(x)=x|x-a|,其中a∈R

判断函数f(x)的奇偶性

2)解关于x的不等式：f(x)≥2a^2

3)设 *** M市满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数k,对任意x∈R，有f(x-k)=kf(x)成立，问是否存在实数a,使得f(x)=x|x-a|属于结合M,若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由

解析:

有些知识忘掉了，我试试看回答吧

1.

a=0时，f(x)=x*|x|,f(-x)=(-x)*|-x|=-x*|x|=-f(x)，函数为奇函数

a不等于0时，f(-x)=(-x)*|-x-a|f(-x)=(-x)*|-x-a|=-(x*|x+a|)不等于-f(x)也不等于f(x)，这个函数非奇非偶

2.

f(x)≥2a^2 =〉x|x-a|≥2a^2

分区间讨论：

a=0时，x^2≥0，恒成立x∈R

a〉0时，不等式右边恒〉0，|x-a|〉0，所以x>0

0<x<a时,x|x-a|=x*(a-x)≥2a^2

=〉(x-a/2)^2+(7/4)*a^2小于等于0，两个平方相加〉0，所以此时无解

x大于等于a时，x|x-a|=x*(x-a)≥2a^2

=〉(x-2*a)*(x+a)≥0

解得x大于等于2*a

a<0时，不等式右边恒〉0，|x-a|〉0，所以x>0

x|x-a|=x*(x-a)≥2a^2

=〉(x-2*a)*(x+a)≥0

解得x大于等于-a

3.

f(x-k)=(x-k)*|x-k-a|=k*x*|x-a|

x>a时，

f(x)=x*(x-a)

f(x-k)=(x-k)*(x-k-a)=k*x*(x-a)

得到式子(1-k)*x^2+(a*k-2*k-a)*x+k^2=0若要求对任意x∈R都成立，则二次项、一次项、常数项的系数都为零，可以求出这是矛盾的，所以这样的a不存在。

x<a时，

f(x)=x*(a-x)

f(x-k)=(x-k)*(a-x+k)=k*x*(a-x)

得到式子(k-1)*x^2+(a-k+2*k-a*k)*x-k^2-a*k=0

若要求对任意x∈R都成立，则二次项、一次项、常数项的系数都为零，可以求出这是矛盾的，所以这样的a不存在。