Question

求下列微分方程的解 y'+ycosx=(1/2)sin2x

Answer 1

dy/dx+ycosx=(1/2)sin2x,令dy/dx+ycosx=0得dy/dx=-ycosx,dy/y=-cosxdx 两边积分得 lny=-sinx+C1,y=C2*e^(-sinx),用常系数变异法,y=u(x)*e^(-sinx)代入原式化简得u'(x)*e^(-sinx)=1/2*sin2x,u'(x)=1/2*sin2x*e^sinx,u(x)=∫1/2*sin2x*e^sinxdx=∫sinxcosx*e^sinxdx=∫sinx*(e^sinx)dsinx=∫sinxd(e^sinx)=sinx*e^sinx-∫(e^sinx)dsinx=sinx*e^sinx-e^sinx+C,把u(x)代入y=u(x)*e^(-sinx)得y=(sinx*e^sinx-e^sinx+C)*e^(-sinx)=sinx-1+C*e^(-sinx) 终于完了,想起来容易打起来难啊~