Question

设向量组a1,a2,a3线性无关,又设b1=a3,b2=a2+a3,b3=a1+a2+a3,证明:b1,b2,b3也线性无关

Answer 1

一、b1, b2 ,b3线性相关，则存在不全为0的 x、y、z 满足x*b1+y*b2+z*b3=0，

代入b1, b2 ,b3，整理得到(x+k*z)*a1+(y-k*x)*a2+(y+z)*a3=0，

因为a1,a2,a3不相关，所以x+k*z=0，y-k*x=0，y+z=0，

又x、y、z不全为0，所以可得到k=+1或-1

二、假设存在一组实数k1，k2，k3，使得k1b1+k2b2+k3b3=0，

即  k1（a1-2a1）+k2（a2-a3）+k3（a1-2a3）=（k1+k3）a1+（-2k1+k2）a2+（-k2-2k3）a3=0．

因为向量组a1，a2，a3线性无关，所以

k1+k3＝0

?2k1+k2＝0

?k2?2k3＝0

扩展资料：

向量组A：a1，a2，?am与向量组B：b1，b2，?bn的等价秩相等条件是

R（A）=R（B）=R（A，B），

其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

（注意区分粗体字与普通字母所表示的不同意义）

或者说：两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。

注：

1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

6、如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。

参考资料来源：百度百科-等价向量组