Question

函数极限定义中δ的含义及求法

Answer 1

一、极限的计算：
就是算出当x无限地趋向于某个值x.时,函数 f(x) 越来越无止境地趋向于何值?在一般情况下,就是直接代入.
有些情况是无法直接代入的,这就是不定式的七种类型,譬如分子分母都趋向于0,我们就不能分子分母都代入0.而是要找出它们的比例究竟越来越趋向于什么数,这样的结果,我们就产生了各种各样的计算极限的方法.
二、极限理论的证明.
这部分不好理解,请楼主细细看看下面的解释,会忽然开通. 1、极限的最早萌芽概念,我们祖先也有过,但是被当成诡辩学而埋葬了. 时至今日,仍有绝大多数数学教师,一提到诡辩学,立马教条式地彻 底否认,没有思辨的任何理性空间. 2、鬼子的祖先,也有诡辩学,他们认认真真地研究了paradox,由此而 建立了极限理论.极限理论是桥梁,桥的这边是初等数学,桥的那边 是微积分,是高等数学.我们的理论贡献局限在桥这边,桥那边的理 论世界的建设,我们几乎完全是手无寸功,我们在科研上的落后就是 从这里开始的. 3、极限的理论究竟是什么呢? 第一,极限的证明理论 这就是我们的大学新生大学伊始时,兴致勃勃地心情遇到的第一记沉重的闷棍.极限的理论,其实是吵架的理论,是无止境争辩的过程,也是无穷列举法的理论化过程.例如：(1)、我说当 x 无限趋向于 2 时,x² 就无限趋近于 4.(2)、你不信,你要我证明给你看.(3)、我说,那你随便给一个很小的数,你给了0.5.(4)、我通过计算,我说只要 x = 2.10 就行.(5)、你反悔了,改成了0.4.(6)、我重新计算了一下,我说只要 x = 2.09 就行.(7)、你又反悔,又改成了0.3.(8)、我又重新计算,我说只要 x = 2.07 就行.(9)、你再次反悔,再改成0.2.(10)、我再次计算,我说只要 x = 2.04 就行. 、、、、你不断地反悔,不断地提出越来越苛刻的数据,我也不断地计算, 不断给出越来越接近于2的具体数,也就是越来越限制了 x 趋近于 2 的程度、、、、、 结果我们都厌烦了. (11)、我说,别闹了,你给出一个可以表示很小很小的象征性的数字吧.(12)、你给出了一个代号 ε.(13)、我根据你的代号 ε,经过一番计算,找到了另外一个数字代号 δ.
我对你说,你自己随便找一个跟 2 的差距不大于 δ 的数就可以了.
算了,算了,我把计算公式也给你吧,你自己出 ε,自己去找 δ, 这样你还有什么话说?

争吵就这样结束了,无穷列出变成了一个理论计算过程,结果就得到了证明. 这个证明逻辑思路是： 只要你给得出一个无论多小的数,ε；我就能根据你的 ε,算出一个 δ ；只要将x 的取值,限制在 δ 的范围内,函数值与极限值之差就小于 ε.由于 ε可以任意的小,两者之差可以无止境的小下去,就证明了极限. δ 是根据 ε 算出的,我算出一个δ,你可以用比我更小的 δ 限制 x 的范围,所以,ε是任给的,δ 是根据 ε 推算的,但 δ 不是唯一的,可以有无数个更严格的、更小的值.所以说,总存在一个 δ,但是这个 δ,必须由我们去根据 ε找出来. 第二、极限的计算微积分的前面部分,就是寻找各种计算方法,最典型的是罗毕达法则. 第三、极限的运用可以说极限是微积分的基础,也可以说,微积分是极限理论的运用. 如果你不能明白极限的理论证明方法,那么,我们得恭喜你!你真正理解了我们传统的优秀数学史,到了近代数学时,怎么突然落后了、落伍了.当代理论,我们没有参与建立,迄今为止,我们还处于三流开外. 如果你明白了极限的理论证明方法,那么,我们得祝贺你!你真正开始领略到了现代数学、现代科学的真谛.体会到了我们传统的、定性、模棱两可、之乎者也的学风,更现代数学、现代科学、现代医学、、、、、之间的鸿沟是多么得深,多么得广,多么得不可同日而语.
三、极限的证明示例：

四、极限的计算方法总结
下面是本人平时的用法所做的总结,并配有例题.考研不会超出这个范围.
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