Question

关于微积分导数的问题 f(x0)的n阶导数存在,在x=x0的邻域内f(x)是否可导?

Answer 1

1. 函数f(x)在x0点的n阶导数存在不能推出在x=x0的邻域内f(x) n阶可导；
函数f(x)在x0点的n阶导数用D[f(x0),n]来表示,
D[f(x0),n]=Limit [D[f(x),n-1]－D[f(x0),n-1] ) / (x-x0),x->x0] ①
由①可以推出在x=x0的邻域内f(x)的 n-1阶导数存在且连续；
2. 由函数f(x)在x0点的n阶导数存在,不能得到f(x)的n阶导数在x=x0的邻域内其他点是否存在,更不能得到n阶导函数的连续性；
3. 当x趋向于x0时,计算可得f '(x)的极限为k,不能得到f '(x0)=k.
例如：分段函数f(x)=kx,x≠0; f(x)=1,x=0
在x=0,f '(x)的极限为k; 在x=0,f(x)不连续,故f’(0)不存在.