Question

求证 f(x)=x+4/x在【1,3】上的单调性

Answer 1

先讨论一般情况：
f(x)=x+a/x(a>0)
令0<x1<x2
f(x1)-f(x2)
=(x1+a/x1)-(x2+a/x2)
=(x1-x2)+(a/x1-a/x2)
=x1-x2+a(x2-x1)/x1x2
=(x1x2-a)(x1-x2)/(x1x2).
①如果0<x1<x2≤√a
因为0<x1<x2≤a^0.5
所以x1-x2<0,x1x2-a<0
故(x1x2-a)(x1-x2)>0
所以当0<x≤√a时,f(x)单调递减
②如果√a≤x1<x2
因为√a≤x1<x2
所以x1-x20
故(x1x2-a)(x1-x2)<0
所以当x≥√a时,f(x)单调递增
令a=4,由上面的结论可知：f(x)=x+4/x在【1,3】上的单调性.
当1≤x≤2时,f(x)单调递减,当2≤x≤3时,f(x)单调递增.</x2
</x2
</x≤√a时,f(x)单调递减
</x1<x2≤a^0.5
</x1<x2≤√a
</x1<x2