Question

直线l:y=kx+1与双曲线C:3x^2-y^2=1 相交于不同的A,B两点.求AB的长度？

Answer 1

设交点为(x1,y1),(x2,y2)
|AB|=√((x2-x1)²+(y2-y1)²) 将y2=kx2+1,y1=kx1+1 代入得
|AB|=√((x2-x1)²+(kx2-kx1)²)
=√(1+k²)|x2-x1|
将直线l:y=kx+1代入双曲线C:3x^2-y^2=1 得
3x²-(kx+1)²=1
整理得 3x²-k²x²-2kx-2=0
两根之差的绝对值为
|x2-x1|=√((x1+x2)²-4x1x2)=√(2k/(3-k²))²+8/(3-k²))
=√(2k+8(3-k²)/|3-k²|
=√(2k+24-8k²)/|3-k²|
|AB|=√(1+k²)*√(2k+24-8k²)/|3-k²|,8,3x^2-y^2=1
把y=kx+1代入上式
得到（3-k^2）x^2-2kx-2=0
x1+x2=2k/3-k^2
x1x2=-23-k^2
可以算出│x1-x2│
tanθ=k cosθ=1/√(1+k^2)
AB=│x1-x2│/cosθ,1,