Question

证明不定方程x²＋y²＝1983无整数解？

Answer 1

显然x,y一奇一偶才可以满足方程,根据对称性不妨设x是偶数,y是奇数
则x=2s,y=2t+1
从而方程可以写为
（2s）²＋（2t+1）²＝1983
从而有4
4 s²＋4 t² +4t＝1982
而1982不是4的倍数,故不可能存在这样的s和t满足上式,也就不存在x,y满足
x²＋y²＝1983,1,假设方程有整数解，则必为一奇数解，一偶数解，否则等式两边奇偶性不同。设x = 2m，y = 2n-1, m,n 为整数，代入原等式，可化得 n^2-n+m^2-991/2=0, 即 n^2-n = 991/2-m^2, 左边是整数，右边非整数，等式不成立。故原假设不成立，故原方程无整数解。,1,1983是个奇数，因此x，y一奇一偶
因此他们的平方一个能被4整除，一个除以4余1，其和除以4余1
然后1983除以4余3，矛盾,1,证明不定方程x²＋y²＝1983无整数解