Question

lim x趋近0　[ln(a+x)+ln(a-x)-2lna]/x^2 (a>0)？

Answer 1

解法一：（罗比达法则法）
原式=lim(x->0)[(1/(a+x)-1/(a-x))/(2x)] (0/0型极限,应用罗比达法则)
=lim(x->0)[((-2x)/(a²-x²))/(2x)]
=lim(x->0)[-1/(a²-x²)]
=-1/(a²-0²)
=-1/a²；
解法二：（重要极限法）
原式=lim(x->0)[(ln(a²-x²)-ln(a²))/x²]
=lim(x->0)[(ln(1-x²/a²)/x²]
=ln{lim(x->0)[(1-x²/a²)^(1/x²)]} (应用初等函数的连续性)
=ln{[lim(x->0)[(1+(-x²/a²))^(-a²/x²)]]^(-1/a²)} (应用初等函数的连续性)
=ln[e^(-1/a²)] (应用重要函数lim(z->0)[(1+z)^(1/z)]=e)
=-1/a².,10,limx→0[ln(a+x)+ln(a-x)-2lna]=0
limx→0[x^2]=0
limx→0 [ln(a+x)+ln(a-x)-2lna]/x^2=limx→0 [lim(a^2-x^2)-2lna]'/(x^2)'=limx→0 [-2x/(a^2-x^2)]/2x=limx→0 [x^2-a^2]=-a^2,1,此题可用洛比达法则，但更简单的办法是利用基本极限ln(1+x)~x, x->0.
原式分子=ln[(a²-x²)/a²]=ln(1-a²/x²)~-a²/x² (x->0).
所以极限是-a².,1,[ln(a+x)+ln(a-x)-2lna]/x^2
=ln(a^2-x^2-a^2)/x^2
=lnx^2/x^2
求导为：(2x/x^2)/2x
=1/x^2
=无穷大,1,